Mathématiques

Le résumé est :
1. Le groupe orthogonal: Orientation et angle orienté. Produit vectoriel dans R^3. Symétries, réflexions, retournements orthogonaux.
2. Espaces affines: Repères et coordonnées barycentriques. Applications affines et leur caractérisation en coordonnées barycentriques. Théorème sur les points fixes d'une application affine. Groupe affine et théorème de caractérisation du sous-groupe des homothéties-translations. Projecteurs et symétries.
3. Théorèmes célèbres: Thalès, Menelaüs (que en dimension 2), Pappus, Desargues.
4. Espaces affines euclidiens: Isométries, déplacements, similitudes. Interprétation des coordonnées barycentriques en dimension 2 comme aires orientées. Décomposition des isométries en une isométrie vectorialisée suivie d'une translation. Description des isométries en dimension 2 et leur écriture complexe. Isométries en dimension 3.
5. Sous-groupes des isométries laissant invariant un ensemble: Simplexe en dimension n et description de l'enveloppe convexe en coordonnées barycentriques. Théorème de Lucas. Groupe diédral. Polyèdres convexes. Triangles sphériques et formule de Girard. Formule d'Euler pour les polyèdres. Les cinq polyèdres réguliers en dimension 3.